Aplicación de los Modelos Lineales y Cuadráticos en la Vida Diaria,Empresa y otras Disciplinas

1. INTRODUCCIÓN

    Un porcentaje o tanto por ciento (cien unidades), es una cantidad que corresponde proporcionalmente a una parte de cien.

Un modelo matemático se define como una descripción desde el punto de vista de las matemáticas de un hecho o fenómeno del mundo real, desde el tamaño de la población, hasta fenómenos físicos como la velocidad, aceleración o densidad. El objetivo del modelo matemático es entender ampliamente el fenómeno y tal vez predecir su comportamiento en el  futuro .

Las gráficas de las funciones lineales y de las funciones cuadráticas cambian de acuerdo a la variación de los parámetros que integran sus fórmulas.

Estas funciones permiten explicar el movimiento uniforme y acelerado como un modelo de la Física.

2. OBJETIVOS

Analizar cómo influyen los valores m y b en las gráficas de rectas de expresión y=mx+b estableciendo semejanzas y diferencias a partir de la gráfica de y=mx.

Analizar cómo influyen los valores de a, h, y k en las gráficas de parábolas de expresión y=a (x + h)²+k estableciendo semejanzas y diferencias a partir de la gráfica de y=ax².

Conocer la relación que existe entre las gráficas correspondiente a movimiento rectilíneo uniforme y la función lineal.

Conocer la relación que existe entre las gráficas correspondiente a movimiento rectilíneo acelerado y la función cuadrática.

Interpretar cómo varían las gráficas del movimiento en función de la variación de la velocidad y la aceleración.

3.Funciones lineales

Una función lineal es una función de la forma

f(x) = mx + b		Notación de función
y = mx + b		Notación de ecuación

Donde m y b son números fijos (los nombres 'm' y 'b' son tradicionales).

Papel de m: Si y = mx + b, entonces:
 (a) y cambia en m unidades para cada cambio de x en una unidad.
 (b) Un cambio de Δx unidades en x resulta en un cambio de Δy = mΔx unidades en y.
 (c) Despejando a m, se obtiene

m

=

Δy Δx

=

Cambio en y Cambio en x

Papel de b: Cuando x = 0, y = b (forma de ecuación), o f(0) = b (forma de función)

3.1 Funciones Lineales en la Vida Diaria.

Ejemplo 01

El número de páginas web en este sitio se puede expresar por la ecuación

n = 1.2t + 200,

Donde t es tiempo en semanas desde 1 de junio, 1997. La pendiente es m = 1.2 páginas web por semana. Entonces, el número de páginas está creciendo a una tasa de 1.2 páginas por semana.

Ejemplo 02

Si se vende 100 camisetas por semana cuando el precio es $10, y 200 por semana cuando se baja el precio hasta $8, entonces la ecuación (lineal) demanda es

q = -50p + 600     Ecuación de recta por (10, 100) y (8, 200)

Entonces, la función ingreso relacionada es

R = pq = p (-50p+600) 
    = -50p² + 600p.

Ejemplo 03

Si el costo fijo es $400, y si el costo marginal es $40 por artículo, y si se vende los artículos a $60 cada uno, entonces

C(x) = 40x + 400
R(x) = 60x
P(x) = R(x) - C(x)
  = 60x - (40x + 400)
  = 20x - 400.

Para equilibrio,

P(x) = 0
20x - 400 = 0,

Entonces x = 20. Por lo tanto, tiene que vender 20 artículos para alcanzar el equilibrio.

3.2 Funciones Lineales en la Empresa

   BENEFICIO = VENTAS – COSTOS

VENTAS = PRECIO x CANTIDAD

COSTOS = COSTO FIJO + COSTO MARGINAL x CANTIDAD

En resumen: BENEFICIO = PRECIO X CANTIDAD - (COSTO FIJO + COSTO MARGINAL X CANTIDAD)

 4. Funciones Cuadráticas